🔊 Funkcja (łac. functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”), odwzorowanie, przekształcenie, transformacja – pojęcie matematyczne używane w co najmniej dwóch zbliżonych znaczeniach: dla danych dwóch zbiorów X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} funkcją nazywano każde przyporządkowanie elementom zbioru X {\displaystyle X} po jednym elemencie zbioru Y {\displaystyle Y} ; zazwyczaj wymaga się też, aby to przypisanie dotyczyło każdego elementu zbioru X {\displaystyle X} . Wtedy obiekty spełniające tylko pierwszy warunek są znane jako funkcje częściowe. Funkcje oznacza się na ogół literami f , g , h {\displaystyle f,g,h} itd. Jeśli funkcja f {\displaystyle f} przyporządkowuje elementom zbioru X {\displaystyle X} elementy zbioru Y , {\displaystyle Y,} to pisze się: f : X → Y . {\displaystyle f\colon X\to Y.} W kontekście każdej funkcji używa się kilku podstawowych pojęć: zbiór X {\displaystyle X} nazywa się dziedziną funkcji f, przy czym ten termin ma też inne znaczenie opisane w linkowanym artykule. Inna nazwa to zbiór argumentów, ponieważ jego każdy element x {\displaystyle x} nazywa się argumentem tej funkcji lub zmienną niezależną; zbiór Y {\displaystyle Y} to przeciwdziedzina tej funkcji f {\displaystyle f} lub jej zbiór wartości, przy czym te terminy mają też inne znaczenie – por. linkowane artykuły. Każdy element y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} nazywa się wartością funkcji lub zmienną zależną. Funkcje to szczególne przypadki relacji binarnych. Relacja R {\displaystyle R} jest funkcją, jeśli spełnia dwa warunki, poniżej zapisane za pomocą kwantyfikatorów: jednoznaczność: ∀ x ∈ X , y 1 , y 2 ∈ Y : [ x R y 1 ∧ x R y 2 ⇒ ( y 1 = y 2 ) ] , {\displaystyle \forall x\in X,y_{1},y_{2}\in Y:[xRy_{1}\wedge xRy_{2}\Rightarrow (y_{1}=y_{2})],} ∀ x ∈ X   ∃ y ∈ Y : x R y . {\displaystyle \forall x\in X\ \exists y\in Y:xRy.} Przez to funkcje rozumiane szeroko są też znane jako relacje jednoznaczne. Teoria mnogości definiuje relacje za pomocą iloczynu kartezjańskiego zbiorów, czyli zbioru par uporządkowanych: R ⊆ X × Y . {\displaystyle R\subseteq X\times Y.} Termin funkcja pojawił się w matematyce w XVII wieku, po czym kolejni uczeni nadawali mu nowe znaczenia. Leonhard Euler w osiemnastym wieku był pierwszym matematykiem, który użył wpółczesnego oznaczenia funkcji. Euler używał dwóch definicji funkcji, pierwsze jako analityczne wyrażenie (formuła), zawierajaca stałe oraz zmienne. Druga definicja to zmienna zależna od innej zmiennej. Takie samo podejście można znaleźć w książkach Lagrange'a. Drugie podejście, z drobnymi zmianami, było używane przez późniejszych matematyków, takich jak Cauchy, Fourer, Drichlet, czy Reimann. Funkcje stały się jednym z podstawowych i najważniejszych pojęć całej nowożytnej matematyki i innych nauk ścisłych; funkcje: są głównym przedmiotem badań analizy; pozwoliły zdefiniować jedno z podstawowych pojęć kombinatoryki i teorii mnogości: moc zbioru. pojawiają się w logice matematycznej w postaci funkcji zdaniowych (predykatów) i innych funktorów; stały się jednym z fundamentów informatyki, gdzie nazywa się tak odmianę procedury; powstałe całe metody programowania oparte na tym pojęciu jak programowanie funkcyjne;. Opisano dziesiątki odmian funkcji; niezależnie od dziedziny i przeciwdziedziny można wyróżnić funkcje różnowartościowe (iniekcje), funkcje „na” (suriekcje) oraz przecięcie tych dwóch zbiorów – funkcje wzajemnie jednoznaczne (bijekcje). Inne typy definiuje się m.in. za pomocą konkretnej dziedziny lub przeciwdziedziny, co opisano w dalszych sekcjach. Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru X {\displaystyle X} do zbioru Y {\displaystyle Y} oznacza się Y X {\displaystyle Y^{X}} .